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Ich gib dir nur ein Beispiel. Mietvertrag. Es wird nur beidseitig ein Mietvertrag unterschrieben und du überweist monatlich deine Miete an den Vermieter, OHNE dass er dir jedes mal eine Rechnung schreibt.
Dieses Beispiel ist Unsinn. Denn:
1. Im Mietvertrag ist der monatlich zu entrichtende Mietzins festgehalten.
Und
2. Wird über die entrichteten Betriebskosten nach zwölf Monaten von Vermieterseite eine Abrechnung erstellt, oder die Abrechnung erfolgt auf Wunsch des Mieters.
Dabei entsteht dann eine Nach- oder Rückzahlung von Betriebskosten.
Du vergleichst hier zwei Vertragsarten die nichts miteinander zu tun haben. Auch einfacher ausgedrückt: Apfel mit Birnen.
Eine Rechnung ohne Vertrag als unmöglich zu bezeichnen ist relativ, aber vom Grund her richtig. Nur ein Vertrag entsteht zumindest nicht immer schriftlich. Beispiel Einzelhandel. Du nimmst die Ware, bezahlst mit Geld oder ähnlichem. So ist der Vertrag entstanden, ohne dass etwas schriftlich fiktiert wurde. Und du bekommst im Anschluss eine Rechnung oder Quittung.
Wieder Unsinn. Du vergleichst einen Kaufvertrag mit einem Dienstleistungsvertrag.
das sit schon richtig, aber es wurde ja gesagt es gibt keine verträge ohne rechnungen. 
Diesen Satz kannst du dir sparen. Du weißt schon ganz genau worum es in der Sache geht.
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Bei Dienstleistungsverträgen kann es ähnliche Konstellationen geben.
Beispiel aus Veranstaltunsbranche im kleineren Stil.
Schule kommt auf Licht- und Tontechnik zu.
Könnt ihr unsere Abi-Party organisieren und durchführen.
Der Direktor geht zu der Firma wo ein Verwandter, sehr guter Bekannter oder Kumpel der Chef ist.
Das ist aber eine Firma, die sonst niemandem bekannt ist.
Die Schule möchte aber Gewinne machen, hat dann eine Provisionsabkommen mit dem Wirt der Örtlichkeit. (also Beteiligung am Getränkeumsatz)
Das PRovisionsabkommen kann natürlich auch wegfallen, wenn der Schule es wichtiger ist nur eine super PArty zuhaben, anstatt auch Gewinn damit zu machen.
Die Licht-und Tontechnik Firma macht den Rest, behält Eintrittsgelder und muss da alles mit finanzieren.
Also gibt es zwischen der Schule und der Licht- und Tontechnik Firma nur ein Abkommen (Vertrag), die Party ordentlich durchzuführen. So schreibt natürlich die Firma der Schule keine Rechnung, da die Schule ja auch nicht an die Firma bezahlt.
Die Eintrittsgelder müssen aber vorher direkt auf ein Privatkonto des Direktors überwiesen werden. Es weiß aber auch niemand, das es überhaupt einen Vertrag
mit dieser Firma gibt. Alle Helfer sind entweder Lehrer oder Eltern, die unentgeltlich mitwirken. Freigetränke sind aber schon drin.
Das eine Firma Ausrichter ist, ist für niemanden offensichtlich, denn der Direktor tritt als "der große Organisateur" auf. Aber der Firmenchef ist auch dabei. Leider nur als "kleiner Kontrolleur".
Zwei Monate nach der Abi-Party wird dann öffentlich, das eine Firma angeblich alles organisiert hat und schwupps wird ein Vertrag hervorgezaubert.
Auf der später stattfindenden Lehrerversammlung mit anwesendem Direktor stellen dann alle fest: Die Eintrittsgelder sind auf einem Privatkonto des Direktors gelandet.
Die Bitte doch mal nachzuweisen was mit den Geldern passiert ist, wird vom Direktor abschlägig beschieden: "Das geht euch garnichts an. Das ist mein Privatkonto. Das zeige ich doch nicht jedem.
Aber seit versichert, der Schule ist kein Schaden entstanden."
Es stellten sich verschiedene Fragen... unter anderem auch, warum die Gelder vom Direktor eingesackt wurden und nicht von der Vertragsfirma... Aaaaber....
Trotz des Umstandes, das der Direktor ohne Zustimmung des Lehrerkollegiums diesen Vertrag nicht hätte abschliessen dürfen und der Verbleib der Eintrittsgelder ungeklärt blieb,
gaben sich am Ende bis auf einige Lehrer alle anderen mit den pauschalen Aussagen des Direktors zufrieden.
Den Direktor gibt es nicht mehr...
Aber man erzählt sich bis heute, dass es da draußen einige Unerschrockene gibt, die versuchen herauszufinden was es mit der Abi-Party wirklich auf sich hatte.
Oooops, da bin ich doch glatt etwas abgeschweift..... 
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So, ich hab jetzt noch was anderes zu tun.... Bis nachher. 
