Mal wieder etwas Darts-Theorie 
Dank dem Beitrag von Saiko-San bin ich neulich zu einer kleinen Erkenntnis gekommen, die ich eigentlich ganz erstaunlich finde:
Bei 128 und 129 ist es legitim mit dem ersten Dart auf die T20 zu werfen, selbst wenn der Gegner auf einem Checkout steht.
Der Grund dafür ist dass man mit der T20 - im Gegensatz zur T18 oder T19 - mit dem Treble in den Bereich <= 70 kommt, bei dem man auch das Treble verfehlen darf und trotzdem noch ein Wurf auf das Bullseye hat. Somit hat man ebenfalls den Vorteil, dass man auch das Single treffen darf, nur eben mit dem zweiten statt dem ersten Dart. Das wird nochmal deutlich, wenn man beide Wege genauer analysiert und vergleicht:
Beispiel 129:
Der Weg über die T19: Mit dem ersten Dart wirft man auf die T19. Wenn man trifft hat man 72 Punkte Rest, und wenn nicht 110. Man kann sich nicht mit einem Single ein Doppel stellen, man muss also mit dem nächsten Dart das Treble treffen.
Kurz: Der erste Dart darf auch das Single treffen, aber mit dem zweiten muss man das Treble treffen.
Der Weg über die T20: Der erste Dart auf die T20 muss treffen wenn man sich ein Doppel stellen will. Trifft man die T20 allerdings, hat man 69 Rest und darf man mit dem nächsten Dart sowohl die Treble 19 als auch die Single 19 treffen, da man in beiden Fällen ein Doppel als Rest hat.
Kurz: Der erste Dart muss das Treble treffen, aber mit dem zweiten darf man auch das Single treffen.
Der einzige Unterschied ist also die Reihenfolge, bzw. an welcher Stelle man den Wurf auf ein Treble hat der auch sitzen muss.
Wenn man das nun mathematisch ausdrückt, und dabei P(T) die Wahrscheinlichkeit das Treble, P(ST) das Treble oder das Single und P(D) das Doppel zu treffen ist, dann sehen die Berechnungen folgendermaßen aus:
T19-Weg: P(ST) * P(T) * P(D)
T20-Weg: P(T) * P(ST) * P(D)
Und wer das Kommutativgesetz kennt, der weiß, dass beide Wahrscheinlichkeiten gleich groß sind und die Reihenfolge keine Rolle spielt.
Eine einfachere Beweisführung ist das Aufzählen aller möglichen Fälle, woraufhin man einfach die beiden Ergebnisse vergleicht. Macht man das z.B. bei der 129, stellt man fest dass es 4 verschiedene Fälle gibt, und es bei beiden Wegen jeweils eine Möglichkeit mit Bull und eine mit einem "richtigen" Double gibt:
[Blockierte Grafik: http://abload.de/img/128129cases3mxgq.png]
An dieser Stelle kommt dann oft der Einwand: "Aber bei T18 bzw. T19 hat man nach dem ersten Dart noch eine Chance zu checken, bei T20 nicht." Der Fehler bei dieser Denkweise ist, dass man nur einen Teil der Rechnung betrachtet. Wenn man die Wahrscheinlichkeit von 2 Checkouts vergleichen will kann man nicht schon nach dem ersten Dart die beiden Wege vergleichen und daraus ein Resultat ziehen, man muss die Wahrscheinlichkeit von der kompletten Kombination berechnen.
Natürlich ist die Wahrscheinlichkeit bei den Wegen über T18/T19 größer, nach dem ersten Dart überhaupt noch eine Chance zu haben einen Wurf auf ein Doppel zu bekommen. Aber im Gegenzug dazu ist die Wahrscheinlichkeit, mit dem zweiten Dart das erlaubte Feld zu treffen, wiederum kleiner, wodurch man zunächst keine genaue Aussage über das Verhältnis zwischen den Wegen treffen kann.
Ein kleines Beispiel dazu:
Man möchte so schnell wie möglich von Ortschaft A zu Ortschaft B. Der eine Weg ist der direkte Weg über das Land, der andere über die Autobahn mit einem kleinen anschließenden Umweg. Da kann man nach der Hälfte der Zeit auch noch keine Aussage darüber treffen, welcher Weg der schnellere ist. Der Autobahnfahrer mag zwar näher am Ziel sein, er durfte aber auch schneller fahren und muss im Nachhinein noch den Umweg ausgleichen, während der Landstraßenfahrer durchgehend den direkten Weg mit 100 km/h fahren und gegen Ende den anfänglichen Nachteil aufholen kann.
Welchen Weg sollte man nun wählen?
In der Theorie sind beide Wege gleich gut. Man macht definitiv nichts falsch, wenn man den konventionellen Weg über T18 und T19 geht. Man könnte allerdings auch wie Rod Harrington argumentieren, dass man am öftesten auf die T20 wirft, sie deswegen auch am besten trifft und der Weg über die T20 somit eventuell der bessere ist.
Auf der anderen Seite haben die gewöhnlichen Wege wiederum den Vorteil, das man sich u.U. das Treble/Double aussuchen kann: Bei 128 kann man sich nach der T18 z.B. aussuchen, ob man T18 D10 oder T14 D16 gehen möchte, während man bei dem Weg über die T20 bei den 68 Punkten Rest über die 18/T18 gehen muss.
Letztendlich ist es, wie die Wahl zwischen 18 D16 und 10 D20, eine Frage die nur jeder individuell für sich beantworten kann.
Einen ähnlichen Irrtum gibt es bei 268 und 269 Punkte Rest, was ich an anderer Stelle im Forum schonmal erwähnt habe. Die weitläufige Meinung ist dabei, dass man, nachdem man die einfache 20 getroffen hat, auf jeden Fall mit dem zweiten Dart auf die 18 bzw. 19 wechseln muss um sich noch ein Finish zu ermöglichen. Die Schlussfolgerung vieler ist hier:
"Bei 268 muss ich 98 Punkte erzielen um auf die 170 zu kommen, das ist T20 + 20 + 18, also 3 Darts von denen einer das Treble treffen muss. Wenn ich mit dem ersten Dart die einfache 20 treffe und mit dem zweiten ebenfalls auf die einfache 20 werfe habe ich es mir "kaputtgemacht", da ich nicht alle 3 Darts nutzen konnte um ein Treble zu treffen. Deswegen gehe ich mit dem zweiten Dart auf die T18 um auch noch den letzten Dart nutzen zu können."
Der Denkfehler dabei ist anzunehmen, dass man 3 Würfe für das benötigte Treble hat, in Wirklichkeit sind es nämlich nur 2:
98 Punkte braucht man um auf die 170 zu kommen. Einer der 3 Darts muss auf 18, ansonsten landet man auf 168 (sofern man nicht 2 Mal die T20 trifft).
Das Problem das man nun hat ist dass die T18 als Treble nicht ausreicht um auf 98 zu kommen. Wenn man nämlich noch zwei Mal die S20 trifft ist man gerade mal bei 94 Punkten, was 174 Punkte Rest und kein Checkout bedeutet. Einer der beiden Darts auf die T20 muss also treffen, damit man entweder auf die 170 (bei S18) oder auf 134 (bei T18) kommt.
Somit ist es bei der obigen Schlussfolgerung nicht richtig, nach der S20 von einer zusätzlichen Chance zu reden wenn man mit dem zweiten Dart auf die 18 wirft - denn der Wurf auf die 18 ist, egal ob man trifft oder nicht, nicht ausschlaggebend ob man ein Finish stellt oder nicht und somit auch keine zusätzliche Chance. Das gleiche gilt auch bei der 269, wo T19 + 20 + 20 ebenfalls nicht aussreicht um auf die 170 zu kommen.
Die Kurzform davon wäre: 2 Darts auf die T20, von denen einer treffen muss und ein Wurf auf die T18/T19 um "anzugleichen" oder auf < 140 zu kommen.
Dazu noch eine Tabelle, die den Fall aufzeigt wenn man bei 268 mit dem ersten Dart die S20 trifft:
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Wie auch bei der 128 und 129 ist die Reihenfolge der Würfe auf die 18 und die 20 egal, alle 3 Varianten haben theoretisch die gleiche Wahrscheinlichkeit. Den "20->18/19->20"-Weg halte ich persönlich aber für den schlechtesten, da man für jeden Wurf das Ziel wechselt, bei 269 sogar "hoch-runter-hoch".
Falls ihr nun darüber diskutieren wollt oder einen Fehler entdeckt habt hätte ich noch eine Bitte (da es im Finish-Thread damals nicht so geklappt hat):
1. Lest euch den ganzen Text auch durch
2. Bleibt sachlich, objektiv und vernünftig
3. Und bitte, argumentiert und diskutiert konstruktiv statt destruktiv
Viel Spaß beim Lesen 
Es ist doch nicht sicher, dass du keinen Dart auf Doppel hast.
